수학: 9번째 데데킨트(Dedekind) 수 해독
- 기초과학 / 문광주 기자 / 2023-06-30 21:16:13
3'20" 읽기
42자리 숫자를 계산하려면 몇 년의 준비 시간과 5개월의 계산 시간이 필요
Erdös 추측, Diophantine 방정식, 구체가 어떻게 가장 조밀하게 채워질 수 있는지에 대한 사소해 보이는 질문이든:
많은 수학적 질문은 수십 년 또는 심지어 수백 년이 지난 후에야 해결된다. 반면에 유명한 p=np 문제나 쌍둥이 소수가 정말 무한히 많은지에 대한 질문과 같은 다른 문제는 아직 해결되지 않았다. 또한 숫자와 함수의 수학적 시퀀스가 있으며 계산이 너무 복잡하여 지금까지 몇 가지 값만 결정할 수 있었다.
다차원 큐브 및 컬러 컷
계산하기 어려운 이러한 함수에는 소위 데데킨트 수도 포함된다. 1897년 독일 수학자 리하르트 데데킨트가 정의한 이 정수 시퀀스는 n 변수에 얼마나 많은 단조 부울 함수가 있는지 알려준다. "기본적으로 2차원, 3차원 및 무한히 많은 차원에서 단조로운 부울 함수를 주사위 게임으로 상상할 수 있다"고 Paderborn 대학의 Lennart Van Hirtum은 설명했다.
“한 모서리에서 큐브의 균형을 잡은 다음 나머지 각 모서리를 흰색 또는 빨간색으로 칠한다. 단 하나의 규칙이 있다. 절대로 빨간색 모서리 위에 흰색 모서리를 배치해서는 안 된다”고 수학자는 계속 말했다. “이것은 일종의 세로 적백 컷을 생성한다. 이 게임의 목표는 서로 다른 절단이 몇 개인지 세는 것이다.” 이러한 절단의 수가 데데킨트 수 M(n)을 제공한다.
거대한 숫자
그러나 문제는 가상 큐브의 차원이 많을수록 데데킨트 값을 결정하는 것이 더 복잡해진다는 것이다. "그렇게 보이지 않더라도 숫자는 빠르게 거대해진다. 8번째 데데킨트 숫자는 이미 23자리다"고 Van Hirtum은 설명했다. 또한 데데킨트 수를 계산하기 위한 효율적이고 닫힌 공식이 없다. 지금까지 합산 공식은 숫자를 계산하는 데 주로 사용되었다. 그러나 이들은 n 값이 증가함에 따라 매우 광범위하고 복잡해진다.
Van Hirtum은 "32년 동안 D(9)를 계산하는 것은 열린 도전이었고 이 숫자를 계산하는 것이 가능할지 의문이었다"고 말했다. 1991년에 해독된 8번째 데데킨트 수에는 당시 세계에서 가장 강력한 컴퓨터 중 하나인 Cray-2 슈퍼컴퓨터가 이미 필요했다. 그러나 그 이후로 컴퓨터 기술은 발전했으며 새로운 수학적 솔루션도 있다. Van Hirtum은 "그래서 이제 대형 슈퍼컴퓨터에서 9번째 숫자를 계산하는 것이 가능해야 한다고 생각했다"고 말했다.
지구상의 모래 알갱이만큼 많은 용어
Van Hirtum과 그의 팀은 D(9)를 풀기 위해 P-계수 공식으로 알려진 기술을 사용했다. 세는 것이 아니라 매우 큰 합계로 데데킨트 수를 계산하는 방법을 제공한다. 그러나 이 공식의 용어 수가 너무 빨리 증가하여 수학자들은 방법의 최적화 및 "슬리밍"을 찾아야했다.
"우리의 경우, 공식의 대칭성을 이용하여 항의 수를 '단지' 5.5 x 1018, 즉 엄청난 양으로 줄일 수 있었다. 비교를 위해 이 양은 지구 전체의 모래 알갱이 수에 매우 가깝다. 그럼에도 불구하고 이러한 많은 산술 연산은 현대 슈퍼컴퓨터에서는 문제가 되지 않지만 이를 수행하는 데 많은 시간이 걸린다. 현재 가장 빠른 하드웨어 가속기 기술인 그래픽 프로세서를 사용하더라도 이 알고리즘으로 9번째 데데킨트 수를 계산하는 데 너무 오래 소요된다.
특수 하드웨어 가속 기능을 갖춘 슈퍼컴퓨터
따라서 솔루션의 두 번째 부분으로 팀은 필요한 계산에 최적화된 애플리케이션별 하드웨어를 개발해야 했다. 이를 위해 Van Hirtum은 고도로 전문화된 병렬 연산 장치의 형태인 소위 FPGA(Field Programmable Gate Arrays)를 기반으로 하는 하드웨어 가속기를 개발했다. 그러나 이를 사용하려면 적절한 FPGA 카드가 있는 슈퍼컴퓨터가 필요했다.
수학자들은 "파데본 병렬 컴퓨팅 센터(PC2)"에서 슈퍼컴퓨터 Noctua-2로 이것을 발견했다. "Noctua 2는 실험을 수행할 수 있는 세계에서 몇 안 되는 슈퍼컴퓨터 중 하나다"고 공동 저자인 Paderborn 대학의 Christian Plessl은 설명했다. "신뢰성과 안정성에 대한 극한의 요구 사항은 우리 인프라에 대한 도전이자 테스트이기도 하다." 몇 년 동안의 조정과 최적화를 통해 우리는 성공했다.
D(9)가 발견되었다!
Van Hirtum과 그의 동료들은 5개월 동안 Noctua 2 슈퍼컴퓨터에서 프로그램을 실행했다. 그런 다음 솔루션을 제공했다. 2023년 3월 8일 과학자들은 9번째 데데킨트 수를 발견했다. 숫자는 42개이며 286386577668298411128469151667598498812366입니다. 8번째 데데킨트 수 이후 32년이 지나면 숫자의 수열이 하나 더 늘어난다.
불과 한 달 후인 2023년 4월 초에 두 번째 수학자 한 명이 9번째 데데킨트 수에 대한 해를 발표했습니다. 드레스덴 공과대학의 크리스티안 야켈은 반 히르툼팀과는 독립적으로 동일한 값을 내놓았다. 그 역시 이 숫자를 계산하기 위해 공식의 대칭과 최적화된 알고리즘을 사용했다. (arXiv:2304.03039; arXiv:2304.00895)
출처: Universität Paderborn
42자리 숫자를 계산하려면 몇 년의 준비 시간과 5개월의 계산 시간이 필요
수학: 9번째 데데킨트(Dedekind)수 해독
42자리 숫자를 계산하려면 몇 년의 준비 시간과 5개월의 계산 시간이 필요했다.
42자리, 32년간의 검색:
수학자들은 9번째 데데킨트 수(단조 부울 함수를 기반으로 하는 일련의 숫자에 대한 해를 나타내는 42자리 숫자)로 알려진 것을 결정했다. 지금까지 n=9에 대해서도 계산 능력이 충분하지 않았기 때문에 이 시퀀스에 대한 처음 8개의 값만 알려졌다. 이제 성공했다. 특히 효율적인 솔루션 알고리즘과 대형 슈퍼컴퓨터 덕분에 수학자들은 아홉 번째 데데킨트 수에 대해 286386577668298411128469151667598498812366의 값을 결정했다.
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| ▲ 파더보른 대학의 수학자들이 아홉 번째 데데킨트 수를 결정했다. 이를 위해 특별히 개조된 슈퍼컴퓨터에서 수년간의 준비와 5개월의 컴퓨팅 시간이 필요했다. © Universität Paderborn/ Besim Mazhiqi |
Erdös 추측, Diophantine 방정식, 구체가 어떻게 가장 조밀하게 채워질 수 있는지에 대한 사소해 보이는 질문이든:
많은 수학적 질문은 수십 년 또는 심지어 수백 년이 지난 후에야 해결된다. 반면에 유명한 p=np 문제나 쌍둥이 소수가 정말 무한히 많은지에 대한 질문과 같은 다른 문제는 아직 해결되지 않았다. 또한 숫자와 함수의 수학적 시퀀스가 있으며 계산이 너무 복잡하여 지금까지 몇 가지 값만 결정할 수 있었다.
다차원 큐브 및 컬러 컷
계산하기 어려운 이러한 함수에는 소위 데데킨트 수도 포함된다. 1897년 독일 수학자 리하르트 데데킨트가 정의한 이 정수 시퀀스는 n 변수에 얼마나 많은 단조 부울 함수가 있는지 알려준다. "기본적으로 2차원, 3차원 및 무한히 많은 차원에서 단조로운 부울 함수를 주사위 게임으로 상상할 수 있다"고 Paderborn 대학의 Lennart Van Hirtum은 설명했다.
“한 모서리에서 큐브의 균형을 잡은 다음 나머지 각 모서리를 흰색 또는 빨간색으로 칠한다. 단 하나의 규칙이 있다. 절대로 빨간색 모서리 위에 흰색 모서리를 배치해서는 안 된다”고 수학자는 계속 말했다. “이것은 일종의 세로 적백 컷을 생성한다. 이 게임의 목표는 서로 다른 절단이 몇 개인지 세는 것이다.” 이러한 절단의 수가 데데킨트 수 M(n)을 제공한다.
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| ▲ 그림은 치수 0, 1, 2 및 3에 대해 가능한 모든 절단을 보여줍니다. 이러한 색상 절단의 수는 데데킨트 수로 정의된다. 표제 © Tilman Piesk/ gemeinfrei |
거대한 숫자
그러나 문제는 가상 큐브의 차원이 많을수록 데데킨트 값을 결정하는 것이 더 복잡해진다는 것이다. "그렇게 보이지 않더라도 숫자는 빠르게 거대해진다. 8번째 데데킨트 숫자는 이미 23자리다"고 Van Hirtum은 설명했다. 또한 데데킨트 수를 계산하기 위한 효율적이고 닫힌 공식이 없다. 지금까지 합산 공식은 숫자를 계산하는 데 주로 사용되었다. 그러나 이들은 n 값이 증가함에 따라 매우 광범위하고 복잡해진다.
Van Hirtum은 "32년 동안 D(9)를 계산하는 것은 열린 도전이었고 이 숫자를 계산하는 것이 가능할지 의문이었다"고 말했다. 1991년에 해독된 8번째 데데킨트 수에는 당시 세계에서 가장 강력한 컴퓨터 중 하나인 Cray-2 슈퍼컴퓨터가 이미 필요했다. 그러나 그 이후로 컴퓨터 기술은 발전했으며 새로운 수학적 솔루션도 있다. Van Hirtum은 "그래서 이제 대형 슈퍼컴퓨터에서 9번째 숫자를 계산하는 것이 가능해야 한다고 생각했다"고 말했다.
지구상의 모래 알갱이만큼 많은 용어
Van Hirtum과 그의 팀은 D(9)를 풀기 위해 P-계수 공식으로 알려진 기술을 사용했다. 세는 것이 아니라 매우 큰 합계로 데데킨트 수를 계산하는 방법을 제공한다. 그러나 이 공식의 용어 수가 너무 빨리 증가하여 수학자들은 방법의 최적화 및 "슬리밍"을 찾아야했다.
"우리의 경우, 공식의 대칭성을 이용하여 항의 수를 '단지' 5.5 x 1018, 즉 엄청난 양으로 줄일 수 있었다. 비교를 위해 이 양은 지구 전체의 모래 알갱이 수에 매우 가깝다. 그럼에도 불구하고 이러한 많은 산술 연산은 현대 슈퍼컴퓨터에서는 문제가 되지 않지만 이를 수행하는 데 많은 시간이 걸린다. 현재 가장 빠른 하드웨어 가속기 기술인 그래픽 프로세서를 사용하더라도 이 알고리즘으로 9번째 데데킨트 수를 계산하는 데 너무 오래 소요된다.
특수 하드웨어 가속 기능을 갖춘 슈퍼컴퓨터
따라서 솔루션의 두 번째 부분으로 팀은 필요한 계산에 최적화된 애플리케이션별 하드웨어를 개발해야 했다. 이를 위해 Van Hirtum은 고도로 전문화된 병렬 연산 장치의 형태인 소위 FPGA(Field Programmable Gate Arrays)를 기반으로 하는 하드웨어 가속기를 개발했다. 그러나 이를 사용하려면 적절한 FPGA 카드가 있는 슈퍼컴퓨터가 필요했다.
수학자들은 "파데본 병렬 컴퓨팅 센터(PC2)"에서 슈퍼컴퓨터 Noctua-2로 이것을 발견했다. "Noctua 2는 실험을 수행할 수 있는 세계에서 몇 안 되는 슈퍼컴퓨터 중 하나다"고 공동 저자인 Paderborn 대학의 Christian Plessl은 설명했다. "신뢰성과 안정성에 대한 극한의 요구 사항은 우리 인프라에 대한 도전이자 테스트이기도 하다." 몇 년 동안의 조정과 최적화를 통해 우리는 성공했다.
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| ▲ 최근까지 처음 8개의 데데킨트 수만 알려져 있었다. © scinexx |
D(9)가 발견되었다!
Van Hirtum과 그의 동료들은 5개월 동안 Noctua 2 슈퍼컴퓨터에서 프로그램을 실행했다. 그런 다음 솔루션을 제공했다. 2023년 3월 8일 과학자들은 9번째 데데킨트 수를 발견했다. 숫자는 42개이며 286386577668298411128469151667598498812366입니다. 8번째 데데킨트 수 이후 32년이 지나면 숫자의 수열이 하나 더 늘어난다.
불과 한 달 후인 2023년 4월 초에 두 번째 수학자 한 명이 9번째 데데킨트 수에 대한 해를 발표했습니다. 드레스덴 공과대학의 크리스티안 야켈은 반 히르툼팀과는 독립적으로 동일한 값을 내놓았다. 그 역시 이 숫자를 계산하기 위해 공식의 대칭과 최적화된 알고리즘을 사용했다. (arXiv:2304.03039; arXiv:2304.00895)
출처: Universität Paderborn
[더사이언스플러스=문광주 기자]
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