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- 삼체문제는 수학과 이론 물리학에서 가장 유명한 풀리지 않는 문제 중 하나
- 평균적으로 "질서의 섬"은 조사된 모든 초기 변수 조합의 약 37%를 차지

삼체문제(3-body problem): 순전히 혼란스럽지 않은가?
천체 물리학자들은 혼란스러운 삼체문제에서 '질서의 섬'을 발견했다.

삼체문제에 대한 놀라움:
세 개의 천체 사이의 상호 작용은 이전에는 순전히 혼란스럽고 통계적으로만 예측 가능한 것으로 여겨졌다. 그러나 그것은 명백히 오류다. 현재 천체 물리학 시뮬레이션을 통해 밝혀지고 있는 유명한 "삼체문제"에는 "질서의 섬"과 심지어 프랙탈 패턴도 있다. 약 37%의 경우, 거의 같은 무게의 세 물체가 만나면 초기 조건을 기반으로 예측 가능한 결말이 발생한다고 팀이 보고했다. 이것이 천체 물리학에 무엇을 의미할까? 

▲ 세 천체의 중력 상호 작용은 수학과 물리학에서 가장 유명한 풀리지 않는 문제 중 하나다. © Rhetos/공개 도메인(CC0)

유명한 삼체문제는 Netflix 시리즈 '3체 문제'와 이를 기반으로 한 Cixin Liu의 책 시리즈 'Trisolaris' 이후 많은 사람에게 알려졌다. 그 뒤에는 이미 요하네스 케플러(Johannes Kepler)와 아이삭 뉴턴(Issac Newton)과 같은 과학자들을 골치 아픈 문제로 만든 물리적인 문제가 있다. 그들과 다른 많은 연구자가 발견한 것처럼 중력에 의해 결정되는 세 천체 사이의 상호 작용은 질서 있는 패턴으로 이루어질 수 없으며 무질서하다.

▲ 질량이 거의 동일하고 초기 운동량이 없는 세 물체의 혼돈 궤도다. © Dnttllthmmnm/CC-by-sa 4.0

삼체 상호작용 문제

"삼체문제는 수학과 이론 물리학에서 가장 유명한 풀리지 않는 문제 중 하나다"고 코펜하겐 대학교의 수석 저자인 알레산드로 트라니(Alessandro Trani)가 설명한다. "이론에서는 세 물체의 행동이 순서 없이 초기 조건과 완전히 독립된 후 혼란스럽게 전개된다”고 말한다. 이러한 이유로 "3체 문제"는 공식으로는 풀 수 없고, 확률 수치 계산을 통해서만 풀 수 있다.

또한 Trani와 그의 동료들이 설명하는 것처럼 이러한 시스템(예를 들어 거의 동일한 무게를 가진 3개의 별)은 두 상태 사이를 전환할 수 있다. 첫 번째 경우, 세 물체 모두 끊임없이 변화하는 궤도에서 상호 작용하고 서로 공전한다. 두 번째 경우, 서로 공전하는 한 쌍의 별의 임시 계층 구조가 형성되어 세 번째 파트너가 넓고 편심 궤도에 들어가게 된다. 그러나 이 상태는 일반적으로 안정적이지 않으며 첫 번째 상태로 돌아가거나 세 번째 별이 방출되면서 끝난다. 이런 일이 발생하는지와 시기도 도식(Schema)에 넣을 수 없다. 적어도 이전에는 그렇게 생각했다.

▲ 삼체문제의 다양한 변형에 대한 수백만 번의 시뮬레이션은 순전히 혼란스러운 픽셀 카펫을 초래하지 않는다. 4개의 큰 질서 섬(검은색)이 있다. 색상은 트리플 시스템의 다양한 수명을 나타낸다. © Alessandro Alberto Trani

수백만 가지 변형 시뮬레이션

Trani와 그의 팀은 이제 놀라운 사실을 발견했다. 삼체문제의 혼란 속에 분명히 질서의 섬이 있다는 것이다. 그들은 특별히 개발된 컴퓨터 프로그램에서 세 물체의 행동을 추적했을 때 이 사실을 발견했다. 출발점은 15AU(천문 단위) 거리에서 서로 공전하는 두 개의 별이었고, 처음에는 약 100단위 떨어진 세 번째 별과 결합됐다. 천체물리학자들은 수백만 번의 시뮬레이션을 통해 세 물체의 각도, 속도, 질량을 다양하게 변경했다.

이러한 수백만 번의 실행 결과는 세 물체의 서로 다른 운명과 세 번째 파트너가 방출되는 시간을 색상이 반영하는 그래픽이다. "삼체문제가 완전히 무질서라면 이 그래픽은 식별할 수 있는 패턴 없이 서로 다른 색상의 점들이 혼란스럽게 혼합되어 표시되어야 한다"고 Trani는 설명했다. 그러나 그렇지 않았다.

▲ "질서의 섬"(검은색) 외부에는 삼체문제에서 프랙탈 줄무늬 패턴이 있는 영역이 있다. © Trani et al. / Astronomy and Astrophysics, CC-by 4.0

예측 가능성의 섬이 있다

대신, 균일한 색상의 네 개의 큰 영역이 나타난다. 이는 예측 가능한 끝으로 이어지는 초기 조건이다. "우리의 수백만 개의 시뮬레이션은 세 물체가 만날 때 위치, 각도 및 속도에 직접적으로 의존하는 규칙성의 섬인 혼돈 속에 틈이 있음을 보여준다"고 Trani는 말한다. "혼돈의 바다에 있는 이 섬에서는 시스템이 예측 가능하게 작동하고 동일한 최종 결과를 생성한다. 따라서 이 섬은 그래픽에서 균일한 색상을 갖는다.”

대부분 경우 이러한 예측 가능성의 섬은 세 개의 별 중 하나가 충돌 직후 다시 방출되기 때문에 발생한다. 천체 물리학자가 설명하는 것처럼 시스템은 혼란스러운 삼체 상호 작용에 들어가지도 않는다. 아주 소수의 경우에는 세 물체가 안정적인 궤도를 형성한다. 평균적으로 "질서의 섬"은 조사된 모든 초기 변수 조합의 약 37%를 차지했다. 시뮬레이션은 또한 예측 가능한 곡선의 비율이 세 몸체의 질량에 따라 증가한다는 것을 보여주었다.

▲ 비계층적 삼체 상호작용에서의 두 가지 진화 상태. 이 시스템은 두 상태 사이를 순환하다가 결국 결합되지 않은 이진-단일 쌍으로 분해된다. (출처:관련논문 Isles of regularity in a sea of chaos amid the gravitational three-body problem)

혼돈 속의 프랙탈 패턴

그뿐만 아니라, 천체물리학자들은 예상치 못한 질서의 섬 외에도 삼체문제에서 프랙탈 패턴도 발견했다. 시뮬레이션 결과 무질서해 보이는 부분을 확대해 보면 곳곳에 규칙적인 줄무늬 패턴이 나타나는 것을 볼 수 있다. 더 확대하면 이 줄무늬의 패턴이 계속해서 반복된다. 팀이 보고한 바와 같이, 이는 작은 편차가 선택적으로 안정적으로 만들거나 붕괴하는 삼체시스템을 즉시 안정적으로 이끄는 초기 조건에서 발생한다.

"확대했을 때 이러한 규칙적인 구조의 자기 유사성은 이 혼돈의 프랙탈 특성을 나타낸다"고 Trani와 그의 동료들은 썼다. 삼체 문제는 확대 수준과 영역에 따라 프랙탈 차원이 다르기 때문에 다중 프랙탈 문제다.

천체 물리학에 대한 시사점

이것이 삼체문제와 그 적용(예: 천문학)에 대해 무엇을 의미할까? 연구원들에 따르면, 그들의 결과는 일반적인 통계적 방법이 질서의 섬인 사례의 3분의 1을 포착하지 못하기 때문에 천체 물리학 시스템의 예측을 왜곡할 수 있음을 보여준다. "이것은 통계적 확률 계산을 왜곡하고 잘못된 예측으로 이어질 수 있다"고 Trani는 말했다.

천체 물리학자들은 항성 블랙홀의 합병에서 구체적인 예를 본다. 이는 일반적으로 두 파트너가 초신성으로 폭발하여 블랙홀이 된 쌍성계에서 발생한다. 하지만 트리플 스타 시스템은 어떨까? 동맹에 제3자가 존재하면 이러한 충돌이 삼체문제로 바뀌고 세 개체가 서로 혼란스럽게 또는 예측 가능하게 상호 작용하는지에 대한 질문이 관련된다.

중력파 천문학

Trani와 그의 동료들은 “정렬된 3자 상호작용으로 생성된 블랙홀 쌍은 더 높은 이심률로 인해 혼란스러운 상호작용으로 인한 것보다 훨씬 더 짧은 병합 기간을 보여준다”고 설명했다. 따라서 순전히 혼란스러운 시스템에 기초한 삼체문제의 일반적인 계산은 삼체 상호 작용 쌍의 융합 효율성을 과소평가한다. Trani는 "삼체 상호작용을 이해하는 것은 중력파, 중력 자체 및 기타 우주의 근본적인 신비와 같은 현상을 이해하는 열쇠다"고 말했다.

(Astronomy and Astrophysics, 2024; doi: 10.1051/0004-6361/202449862)
출처: Astronomy and Astrophysics, University of Copenhagen

[더사이언스플러스=문광주 기자]

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