π(파이)를 계산하기 위한 새로운 수학적 방법 발견
- 기초과학 / 문광주 기자 / 2024-06-24 11:33:45
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- Pi의 가장 오래된 계열 표현은 600여 년 전, 인도 수학자 상가마그라마 마드하바의 개발
- 오일러 베타함수 복소수 함수를 파인만 다이그램과 결합
- 마드하바 계열이 소수점 10자리에 도달하려면 50억 항이 필요한 반면, 10에서 100 사이의 람다 값에 대해서는 30항이 필요
- 이 공식을 사용하면 파이의 값을 상대적으로 빠르게 근사할 수 있다.
파이의 소수 자릿수는 일반적으로 수학 분자식(계열) 형식과 같은 다양한 근사값을 사용해 계산된다. Pi의 가장 오래된 계열 표현 중 하나는 600여 년 전, 인도 수학자 상가마그라마 마드하바(Sangamagrama Madhava)에 의해 개발됐다. 그의 분자식은 홀수 분모를 가진 모든 분수를 교대로 더하고 빼서 파이의 근사치를 구한다. 하지만 π(파이) 값에 가까워지려면 수백만 개의 분수가 필요하다.
이제 두 명의 인도 물리학자가 우연히 파이를 결정하는 데 사용할 수 있는 훨씬 더 짧고 간단한 급수 공식을 발견했다. “우리의 목표는 Pi에 대한 새로운 관점을 얻는 것이 결코 아니었다. 대신 우리는 양자 이론을 사용하여 입자가 상호 작용하는 방식에 대한 더 적고 더 정확한 매개변수를 사용하는 모델을 개발했다”고 방갈로르에 있는 인도 고에너지 물리학 센터의 Aninda Sinha는 설명했다.
진동하는 끈과 오일러의 베타 함수
특히 Sinhan과 그의 동료 Arnab Piiya Saha는 끈의 진동 진폭을 계산하는 방법을 찾고 있었다. 끈 이론에 따르면 우주의 모든 기본 입자의 기초를 형성하는 가상의 "실"이다. 이 끈이 어떻게 진동하는지에 따라 에너지 및 질량과 같은 입자의 특성이 결정된다. “끈장 이론(String Fiels Theory)은 낮은 에너지뿐만 아니라 더 높은 질량에서도 작동하는 끈 진폭의 장과 같은 표현이 존재함을 시사한다”고 물리학자들은 설명했다.
이 방정식을 찾기 위해 Sinha와 Saha는 두 가지 물리-수학적 도구를 사용했다. 첫 번째는 오일러의 베타 함수로, 연구원들이 설명하는 것처럼 더 간단한 끈 진폭을 계산하는 데에도 사용할 수 있는 두 개의 복소수 함수다. 그들은 이것을 상호 작용하는 두 입자 사이의 에너지 교환을 설명하는 파인만 다이어그램과 결합했다. 복잡한 수학적 계산 과정에서 물리학자들은 마침내 문자열 설명에 대해 찾고 있던 솔루션을 찾았다.
Pi의 새로운 시리즈
이것이 전부는 아니다. Saha와 Sinha는 또한 Pi에 대한 새로운 공식을 발견했다. 이 분자 공식 또는 계열은 Madhava 계열과 관련이 있지만 훨씬 더 효율적이다. 물리학자들은 “마드하바 계열이 소수점 10자리에 도달하려면 50억 항이 필요한 반면, 10에서 100 사이의 람다 값에 대해서는 30항이 필요하다”고 썼다. 이 분자식의 매개변수 조합을 통해 Pi 값을 신속하게 결정하고 이를 방정식에 삽입할 수 있다.
"물리학자(및 수학자)는 올바른 계산 도구가 없었기 때문에 지금까지 이를 간과해 왔다"고 Sinha는 설명했다. 그와 그의 팀은 지난 3년에 걸쳐 이러한 것들을 개발해왔다. "연구원들은 이미 1970년대 초반에 이 접근 방식을 검토했지만, 너무 복잡했기 때문에 신속하게 포기했다. 새로운 공식이 실제로 어느 정도 이점을 제공할지는 아직 알 수 없다." 어쨌든, 이것은 이 무리수에 가까워지는 또 다른 방법이다.
(Physical Review Letters, 2024; doi: 10.1103/PhysRevLett.132.221601)
출처: Indian Institute of Science (IISc)/인도과학연구소
- Pi의 가장 오래된 계열 표현은 600여 년 전, 인도 수학자 상가마그라마 마드하바의 개발
- 오일러 베타함수 복소수 함수를 파인만 다이그램과 결합
- 마드하바 계열이 소수점 10자리에 도달하려면 50억 항이 필요한 반면, 10에서 100 사이의 람다 값에 대해서는 30항이 필요
- 이 공식을 사용하면 파이의 값을 상대적으로 빠르게 근사할 수 있다.
π를 찾는 새로운 수학적 방법
물리학자들이 문자열 계산 중에 우연히 파이에 대한 새로운 계열 표현을 발견했다.
물리학자들이 순전히 우연히 숫자 π(pi)에 대한 새로운 수학적 방법을 발견했다. 그들은 실제로 진동하는 줄의 진폭을 계산하는 데 사용할 수 있는 공식을 찾고 있었다. 그들은 π를 계산하기 위한 새로운 수학적 급수 공식을 발견했다. 이 공식을 사용하면 파이의 값을 상대적으로 빠르게 근사할 수 있다.
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| ▲ Aninda Sinha(왼쪽)와 Arnab Saha가 새로운 파이 제조법을 사용하고 있다. © Manu Y |
π는 보편적인 자연 상수다. 이는 원의 원주와 지름 사이의 관계를 설명할 뿐만 아니라 진동에서 하이젠베르크의 불확정성 원리에 이르기까지 많은 물리적 현상에서 역할을 한다. 수학적으로 Pi는 거의 어디에나 존재하지만 동시에 이해하기 어렵다. 비합리적이고 초월적인 숫자는 겉보기에 임의적인 소수 자릿수를 무한히 갖고 있기 때문이다.
파이에 접근
파이의 소수 자릿수는 일반적으로 수학 분자식(계열) 형식과 같은 다양한 근사값을 사용해 계산된다. Pi의 가장 오래된 계열 표현 중 하나는 600여 년 전, 인도 수학자 상가마그라마 마드하바(Sangamagrama Madhava)에 의해 개발됐다. 그의 분자식은 홀수 분모를 가진 모든 분수를 교대로 더하고 빼서 파이의 근사치를 구한다. 하지만 π(파이) 값에 가까워지려면 수백만 개의 분수가 필요하다.
이제 두 명의 인도 물리학자가 우연히 파이를 결정하는 데 사용할 수 있는 훨씬 더 짧고 간단한 급수 공식을 발견했다. “우리의 목표는 Pi에 대한 새로운 관점을 얻는 것이 결코 아니었다. 대신 우리는 양자 이론을 사용하여 입자가 상호 작용하는 방식에 대한 더 적고 더 정확한 매개변수를 사용하는 모델을 개발했다”고 방갈로르에 있는 인도 고에너지 물리학 센터의 Aninda Sinha는 설명했다.
진동하는 끈과 오일러의 베타 함수
특히 Sinhan과 그의 동료 Arnab Piiya Saha는 끈의 진동 진폭을 계산하는 방법을 찾고 있었다. 끈 이론에 따르면 우주의 모든 기본 입자의 기초를 형성하는 가상의 "실"이다. 이 끈이 어떻게 진동하는지에 따라 에너지 및 질량과 같은 입자의 특성이 결정된다. “끈장 이론(String Fiels Theory)은 낮은 에너지뿐만 아니라 더 높은 질량에서도 작동하는 끈 진폭의 장과 같은 표현이 존재함을 시사한다”고 물리학자들은 설명했다.
이 방정식을 찾기 위해 Sinha와 Saha는 두 가지 물리-수학적 도구를 사용했다. 첫 번째는 오일러의 베타 함수로, 연구원들이 설명하는 것처럼 더 간단한 끈 진폭을 계산하는 데에도 사용할 수 있는 두 개의 복소수 함수다. 그들은 이것을 상호 작용하는 두 입자 사이의 에너지 교환을 설명하는 파인만 다이어그램과 결합했다. 복잡한 수학적 계산 과정에서 물리학자들은 마침내 문자열 설명에 대해 찾고 있던 솔루션을 찾았다.
Pi의 새로운 시리즈
이것이 전부는 아니다. Saha와 Sinha는 또한 Pi에 대한 새로운 공식을 발견했다. 이 분자 공식 또는 계열은 Madhava 계열과 관련이 있지만 훨씬 더 효율적이다. 물리학자들은 “마드하바 계열이 소수점 10자리에 도달하려면 50억 항이 필요한 반면, 10에서 100 사이의 람다 값에 대해서는 30항이 필요하다”고 썼다. 이 분자식의 매개변수 조합을 통해 Pi 값을 신속하게 결정하고 이를 방정식에 삽입할 수 있다.
"물리학자(및 수학자)는 올바른 계산 도구가 없었기 때문에 지금까지 이를 간과해 왔다"고 Sinha는 설명했다. 그와 그의 팀은 지난 3년에 걸쳐 이러한 것들을 개발해왔다. "연구원들은 이미 1970년대 초반에 이 접근 방식을 검토했지만, 너무 복잡했기 때문에 신속하게 포기했다. 새로운 공식이 실제로 어느 정도 이점을 제공할지는 아직 알 수 없다." 어쨌든, 이것은 이 무리수에 가까워지는 또 다른 방법이다.
(Physical Review Letters, 2024; doi: 10.1103/PhysRevLett.132.221601)
출처: Indian Institute of Science (IISc)/인도과학연구소
[더사이언스플러스=문광주 기자]
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