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- 우리가 사는 세상은 근본적인 대칭에 기반한다.
- 기원전 500년경, 그리스 조각가 폴리클레이토스(Polykleitos)는 대칭을 "sum metria"(측정)라는 용어로 처음 표현
- 모든 대칭은 구체적인 수학적 규칙과 원리에 기반
- 구는 무한히 많은 대칭면 갖어 중세 시대에는 아름다움의 극치, 신성한 원리로 여겼다.
- 1543년 니콜라우스 코페르니쿠스: "구는 모든 모양 중에서 가장 완벽한 모양이다."

대칭의 비밀
자연의 언어 뒤에 숨겨진 비밀은 무엇일까?

눈송이, 해바라기, 심지어 우리 몸의 형태까지, 자연에는 대칭이 도처에 존재한다. 많은 생명체의 형태와 구조에는 황금비나 피보나치 수열과 같은 수학적, 기하학적 원리가 숨겨져 있기도 하다. 도대체 왜 그럴까? 레오나르도 다빈치도 이미 이 질문에 대한 답을 찾고자 했고, 그 후 많은 학자가 이 현상에 대해 고심해 왔다. 자연은 대칭적으로 생각하는 것일까? 어떻게 그토록 놀랍도록 정교한 패턴을 만들어낼까? 그리고 왜 이러한 패턴들은 수학적 원리를 따르는 것일까?

거울에 비친 세계: 대칭의 기본 원리

우리가 사는 세상은 근본적인 대칭에 기반한다. 위와 아래, 좌우, 안과 밖 – 모든 차원에는 항상 거울상과 같은 대응점이 있는 것처럼 보인다. 

▲ 생물학자 에른스트 헤켈(Ernst Haeckel)조차 자연의 대칭성에 매료되었던 듯하다. 여기 그가 그린 방산충 그림들이 있다. © historisch

눈송이에서 은하까지

우리 주변의 자연 또한 이러한 대칭성을 반영한다. 눈송이의 육각형 모양, 나비의 좌우 대칭 날개, 얼룩말이나 호랑이의 줄무늬, 심지어 우리 자신까지도 모든 것이 편재하는 질서, 자연의 근본적인 패턴을 증명하는 듯하다. 거의 구형에 가까운 천체들, 질서정연한 행성들의 궤도, 그리고 종종 대칭적인 은하와 나선형 성운을 가진 우주에서도 대칭성은 두드러지게 나타난다.

우리 주변의 자연 또한 이러한 대칭성을 반영한다. 눈송이의 육각형 모양, 나비의 좌우 대칭 날개, 얼룩말이나 호랑이의 줄무늬, 심지어 우리 자신까지도 모든 것이 편재하는 질서, 자연의 근본적인 패턴을 증명하는 듯하다. 많은 자연 현상이 공유하는 이러한 특성은 1952년 대칭 연구가 헤르만 바일(Hermann Weyl)을 놀라게 했다. 그는 이렇게 말했다. "대칭은 겉보기에는 아무런 공통점이 없어 보이는 사물, 현상, 이론들 사이에 경이롭고도 우스꽝스러운 유사성을 만들어낸다. 예를 들어 지구 자기장, 편광, 자연 선택, 군론(Group Theory), 우주의 구조, 꽃병 모양, 양자 물리학, 꽃잎, 성게의 세포 분열, 눈송이, 음악, 상대성 이론 등이 있다.”

한 조각가가 이 용어를 만들었다.

그러나 바일이 처음은 아니다. 고대 철학자들과 자연 과학자들은 이미 자연의 기묘한 질서에 매료되어 있었다. 기원전 500년경, 그리스 조각가 폴리클레이토스(Polykleitos)는 이러한 특정한 형식적 언어를 "sum metria"(측정)라는 용어로 처음 표현했다. 그의 동시대 인물인 수학자 피타고라스는 구를 기하학에서 가장 대칭적이고 완벽한 형태로 여겼으며, 이를 지구의 구형 모양과 지구의 운동이 완벽한 원형 궤도를 따른다고 설명했다.

후에 레오나르도 다빈치는 그의 유명한 인체 드로잉에서 황금비를 재발견하려 했다. 그는 다음과 같이 분명히 말했다. "인간의 창의적인 정신은 자연이 이룩한 것보다 더 아름답고, 더 단순하고, 더 정확한 것을 결코 생각해낼 수 없다. 자연의 발명품에는 부족한 것도 없고, 불필요한 것도 없기 때문이다." 

▲ 레오나르도 다빈치는 그의 유명한 그림 "호모 비트루비아누스(Homo vitruvianus)"에서 인체의 대칭적인 비율을 묘사했다. © historisch

나비, 불가사리, 그리고 거울의 축

그렇다면 이처럼 보편적인 형태의 언어에는 어떤 비밀이 숨겨져 있을까? 물리학자와 수학자에게 대칭이란 본질적으로 형태 변화 없이 특정 연산을 견딜 수 있는 능력일 뿐이다. 모든 대칭은 구체적인 수학적 규칙과 원리에 기반한다. 하지만 우리는 종종 본능적으로 어떤 형태가 대칭인지 아닌지를 알아차린다.

예를 들어, 나비는 분명히 대칭적인 형태다. 두 반쪽은 서로 거울상이다. 동물의 가운데에 거울을 비추면 두 반쪽이 합쳐져 하나의 전체를 이룬다. 이러한 "좌우" 대칭성을 좌우 대칭이라고 한다. 이는 인간을 포함한 대부분 동물에게서 나타나는 전형적인 특징이다. 불가사리나 눈송이조차도 특정 축을 따라 대칭을 이룰 수 있다. 하지만 불가사리의 경우, 대칭면이 하나가 아니라 여러 개다. 다섯 개의 팔을 가진 불가사리는 반사를 통해 반쪽을 완성할 수 있는 방법이 다섯 가지이므로 오중 대칭을 이룬다.

대칭면이 많을수록 물체는 더욱 대칭적이다. 구는 무한히 많은 대칭면을 가지고 있기 때문에 중세 시대에는 아름다움의 극치이자 신성한 원리로 여겨졌다. 1543년 니콜라우스 코페르니쿠스는 그의 저서 "우주의 원형 운동에 관하여"에서 다음과 같이 썼다. "구는 모든 모양 중에서 가장 완벽한 모양이다. .....부분적으로는 가장 넓은 공간을 가지고 있어 모든 것을 담고 보존하는 데 가장 적합하기 때문이거나... 또는 모든 것이 스스로를 이 모양에 한정시키려는 경향이 있기 때문이다...”

풍차, 나선형 계단, 그리고 DNA

많은 꽃이나 풍차는 언뜻 보면 거울처럼 대칭을 이루는 것처럼 보인다. 하지만 자세히 살펴보면 어느 두 부분도 완벽하게 동일하지 않다는 것을 알 수 있다. 그런데도 많은 꽃은 대칭을 이룬다. 이러한 대칭의 형태를 회전 대칭이라고 한다. 여기서 핵심적인 연산은 회전이다. 꽃이나 풍차를 축을 중심으로 회전시키면 특정 각도만큼 회전한 후에는 원래 위치와 구별할 수 없는 위치에 도달한다.

하지만 더 숨겨진 형태의 대칭도 있다. 나선형 계단, 산양의 나선형 뿔, 야자수 잎은 어떨까? 언뜻 보기에는 명확하지 않지만, 이 또한 대칭이다. 특정 각도만큼 회전시킨 후 중심축을 따라 이동시키면 변하지 않는다.

여기서 기본이 되는 수학적 연산은 회전과 이동의 조합이다. 나선형 계단이나 DNA의 이중 나선 구조처럼 이 연산이 매번 같은 양만큼 반복되면 나선 구조가 된다. 비틀림과 변위 정도가 각 동작마다 변한다면 나선형이 된다. 그러나 상황은 더욱 복잡해진다.(계속)

[더사이언스플러스=문광주 기자]

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